パーセント計算

ひとつに見えて、4つある問い

パーセントの問題はほぼすべて4種類のどれかで、計算はいずれも1行で終わります。 それでも専用のツールを置く価値があるのは、割り算が難しいからではなく、 4つが互いに紛れやすく、しかも誤った答えが書かれてしまえば十分もっともらしく見えるからです。

全体に対する割合の額。200 の 15% は 30。率を100で割って掛けます。 ここを間違える人はほとんどいません。

ある数が別の数の何割か。200 のうち 30 は 15%。部分を全体で割ります。 よくある失敗は分数を逆にすることで、15% が 667% になります。 ただし大きくずれるぶん気づきやすく、後述の誤りほどの実害はありません。

2つの値のあいだの変化。200 から 250 は 25% の上昇です。 差の 50 を、出発点の 200 に対して測っているためです。 250 から 200 に戻ると 20% の下落になります。同じ 50 を、今度は 250 に対して測るからです。 この非対称は毎回人を驚かせ、以降の2つの節の原因になっています。

値を増減させる。200 に 15% を足すと 230。 足すほうは単純ですが、戻すほうに罠があります。

パーセントポイント — 20倍に化ける誤り

2つの数がどちらもすでに「%」の値である場合、その差はパーセントポイントで測られ、 パーセントではありません。失業率が 5% から 6% になったなら、 それは 1 パーセントポイントの上昇です。同時に 20% の上昇でもあります。 どちらも正しく、指しているものが違い、 たいていの文章では片方だけが書き手の意図した意味です。

2つの差は、基準が小さいほど開きます。 税率が 1% から 2% になれば 1 ポイントですが、率でいえば倍増です。 調査結果が 40% から 42% に動けば 2 ポイントで、変化率は 5% です。 変化率のほうがほぼ常に大きく劇的な数字になるため、 見出しやスライドに残るのはそちらになりがちで、しかも元の数値が添えられないまま流通します。

誤りの大きさが最もはっきりするのは、金額に置き換えたときです。下は3,000万円・35年の住宅ローンで、金利が「1%上がった」場合と「1ポイント上がった」場合の毎月の返済額です。

金利1%の時点では、「1%の上昇」は毎月140円、「1ポイントの上昇」は毎月14,693円です。同じ言葉で105倍違います。出発点の金利が低いほどこの倍率は開きます。1ポイントが、小さい数字に対するより大きな割合になるからです。中央銀行が必ず「ベーシスポイント」（1ポイントの100分の1）と言うのは、この単位には相対的な読み方が存在せず、読み違えようがないためです。

このツールでは、2つの値を比較するときに変化率とポイント差を並べて表示します。どちらを使うかが偶然ではなく選択になるようにするためです。入力された2つの数がそれ自体パーセントなのかどうかはツールには判断できないので、両方を出して判断を利用者に委ねています。

増加と減少は打ち消し合わない

100 に 50% を足すと 150。そこから 50% を引いても 100 には戻らず、75 になります。 増加は 100 の半分、減少は 150 の半分であり、同じ名前をつけられた別の量だからです。

これは計算パズルの域を超えた影響を持ちます。 50% 下落した資産が元に戻るには 100% の上昇が必要で、50% では足りません。 20% 値下げしたあとに 20% 値上げすると、顧客が払う額は当初より 4% 安いままです。 割引に割引を重ねても、2つの率の合計にはなりません。 パーセントを順番に適用する場面では、常に順序と基準が効いてきます。

このツールは「同じ率で戻した場合」の着地点を結果の隣に表示します。ずれが見えるようにして、無いものとして扱われないようにするためです。100 から始めた場合はこうなります。

不足分は率の2乗になります。10%なら1%、20%なら4%、50%なら25%足りません。実務で必要なのは最後の列の数字です——20%上げたものを元に戻すには、20%ではなく16.67%下げます。変化を本当に打ち消すには、適用された係数で割ります。税込価格から消費税を抜くのとまったく同じ操作です。

パーセントで語るべきでない場面

実数で述べるべき場面が2つあります。 ひとつは変化前が 0 のとき。変化率はその値で割るので答えが存在せず、 何かを表示するツールがあればそれは不具合を報告しています。 0 から 50 への変化は、50 増えたということです。

もうひとつは、基準そのものが小さいときです。2件から3件への増加は 50% の増加であり、 これは正確な表現であると同時に、実数が併記されなければ積極的に誤解を招く表現でもあります。 パーセントは規模の情報を圧縮します。それが比較の道具として有用な理由であり、 同時に恣意的に使いやすい理由でもあります。 基準が小さい、あるいは示されていない場面では実数の差のほうが誠実です。 このツールがすべての結果の隣に実数の差を出しているのは、そのためです。